Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=3S_n（n≥2），则

lim

n→∞

Sn-1

Sn+1+1

的值是

 

．

Answer 1

分析：先用a₁=1，以及当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{S_n}的通项公式，代入

lim

n→∞

Sn-1

Sn+1+1

，再利用qⁿ的极限当0＜|q|＜1时为0，就可求出．

解答：解：∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3S_n，
∴2S_n=-S_n-1，

Sn

Sn-1

=-

1

2

，∴数列{S_n}为等比数列，公比为-

1

2

∵S₁=a₁=1，∴S_n=1×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-1

lim

n→∞

Sn-1

Sn+1+1

=

lim

n→∞

(- 1 2 )n-1-1

(- 1 2 )n+1

=

lim

n→∞

1- 1 (- 1 2 )n-1

(- 1 2 )+  1 (- 1 2 )n-1

=-2
故答案为-2

点评：本题考查了数列极限的求法，做题时要细心，不要出计算错误．