Question

过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

设切点坐标为（x₀，x₀³+2x₀²+a），而切线的斜率k=y′=3x₀²+4x₀，
所以切线方程为：y-（x₀³+2x₀²+a）=（3x₀²+4x₀）（x-x₀），
把原点（0，0）代入得：2x₀³+2x₀²-a，
所以过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，方程2x₀³+2x₀²-a=0有三个不同的实数解，
设h（x）=2x³+2x²-a，所以令h′（x）=6x²+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-

2

3

，
则x，h′（x），h（x）的变化如下图：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

根据图形可知：h（x）_极大值=h（-

2

3

）=

8

27

-a，h（x）_极小值=h（0）=-a，
根据题意

h(- 2 3 )＞0 h(0)＜0

，即

8 27 -a＞0 -a＜0

，解得：0＜a＜

8

27

，
则实数a的取值范围是（0，

8

27

）．
故答案为：（0，

8

27

）