Question

（2012•漳州模拟）已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA  •  kPB=-

1

4

．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用kPA  •  kPB=-

1

4

，化简可得动点P的轨迹E的方程；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则kPA=

y-0

x+2

，kPB=

y-0

x-2

，
∵kPA  •  kPB=-

1

4

，∴

y

x+2

 •  

y

x-2

=-

1

4

，化简得

x2

4

+y2=1，
∴动点P的轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣（1分）．
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2=4

求得交点M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)，（另一交点H（0，1））
∴|HM|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8k 1+k2

1+4k2

，
用-

1

k

代替上式中的k，得|HN|=

8 1+k2

4+k 2

，
由|HM|=|HN|，得k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=

3± 5

2

，
当HM斜率k=1时，HN斜率-1；当HM斜率k=

3+ 5

2

时，HN斜率

-3+ 5

2

；当HM斜率k=

3- 5

2

时，HN斜率

-3- 5

2

，
综上述，符合条件的三角形有3个．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|进行求解．