Question

设函数f(x)=

(n+1)xn(1-xn)

1+x+x2+…+xn-1

(x＞0)，n为正整数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值A_n；
（Ⅱ）证明：A_n＞A_n+1；
（Ⅲ）证明：

1

e

＜An＜

1

e

+

1

n

．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列求和公式化简，得f（x）=（n+1）xⁿ（1-x），利用导数研究单调性可得f（x）在区间（0，

n

n+1

）上为增函数，在区间 （

n

n+1

，+∞）上为减函数，因此f（x）的最大值A_n=（

n

n+1

_）ⁿ；
（II）化简得

1

An

=(1+

1

n

)n，利用基本不等式证出(1+

1

n

)n≤(1+

1

n+1

)n+1．由于等号不能成立，故

1

An

＜

1

An+1

对任意的n∈N^*成立，结合A_n为正数将两边取倒数得A_n＞A_n+1；
（III）根据e的定义得到

lim

n→∞

1

An

=e，结合

1

An

为关于n的递增函数得

1

An

＜e，两边取倒数可得

1

e

＜An．再利用不等式的性质证出

1

An- 1 n

＞e＞0，变形整理得An＜

1

e

+

1

n

，由此可得原不等式对任意的n∈N^*成立．

解答：解：（I）∵1+x+x²+…+x^n-1=

1-xn

1-x

∴f(x)=

(n+1)xn(1-xn)

1+x+x2+…+xn-1

=（n+1）xⁿ（1-x）
求导数，得f'（x）=（n+1）[nx^n-1-（n+1）xⁿ]
令f'（x）=0，得x=

n

n+1

∵当0＜x＜

n

n+1

时，f'（x）＞0；当x＞

n

n+1

时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（0，

n

n+1

）上为增函数，在区间 （

n

n+1

，+∞）上为减函数
因此函数f（x）的最大值为f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ，即A_n=（

n

n+1

_）ⁿ；
（II）

1

An

=(

1+n

n

)n=(1+

1

n

)n
根据n为正整数，由基本不等式，得
(1+

1

n

)n=(1+

1

n

) •(1+

1

n

) •…•(1+

1

n

) •1≤[

(1+ 1 n ) +(1+ 1 n )+ …(1+ 1 n )+ 1

n+1

]n+1=(1+

1

n+1

)n+1
当且仅当1+

1

n

=1时等号成立，可得等号不能成立
∴

1

An

＜

1

An+1

对任意的n∈N^*成立，结合A_n为正数将两边取倒数得A_n＞A_n+1；
（III）∵当n→+∞时，

1

An

=(1+

1

n

)n→e，即

lim

n→∞

1

An

=e
∴由（II）得

1

An

为关于n的递增函数，可得

1

An

＜e，两边取倒数可得

1

e

＜An
又∵

1

An- 1 n

＞

1

An

，而

lim

n→∞

1

An

=e，
∴

1

An- 1 n

＞e＞0，可得A n-

1

n

＜

1

e

，移项可得An＜

1

e

+

1

n

综上所述，可得不等式

1

e

＜An＜

1

e

+

1

n

对任意的n∈N^*成立．

点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数的最值并依此证明数列的单调性和不等式恒成立．着重考查了等比数列求和公式、利用导数研究函数的单调性、基本不等式的证明和不等式的性质等知识，属于中档题．