Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，求出A，T，然后求出ω，图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．坐标代入方程求出φ，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调增区间，求出f（x）的单调增区间；

解答：解：（1）因为周期为T，则T=2×

π

2

=π
ω=2 因为最低点为M(

2π

3

，-2)
则-A=-2
A=2
所以 f（x）=2sin（2x+φ）
因为最低点为M(

2π

3

，-2)
则最底点是sin（2×

2π

3

+φ）=sin（

4π

3

+φ）=-1
则

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

 k∈Z
φ=2kπ-

π

2

-

4π

3

=2kπ-

11π

6

=2（k-1）π+

π

6

因为0＜φ＜

π

2

所以φ=

π

6

所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）因为ysinx的单调增区间为：[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

） 可得
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得  x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
f（x）的单调增区间：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z

点评：本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，能够利用基本函数的性质解题，对性质的理解程度决定解题能力高低，考查学生分析问题解决问题的能力．