Question

证明关于x的一元二次不等式x²+px+q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p²=4q.

Answer 1

分析:证明充要条件问题,必须分清条件与结论,由“条件”“结论”，是证命题的充分性；由“结论”“条件”，是证命题的必要性.

证明:命题中的条件为p²=4q.

必要性:解不等式x²+px+q≤0.

若Δ=p²-4q＞0,则

不等式的解集为{x|≤x≤},不合题意.

若Δ＜0,则x²+px+q恒大于0.

原不等式的解集为空集,不合题意.

所以,不等式x²+px+q≤0的解集中只含有一个元素时,Δ=p²-4q=0,即p²=4q.

充分性:∵p²=4q,

∴x²+px+q=x²+px+=(x+)²≤0.

∴x+=0,即x=-,

即原不等式的解集只有一个元素-.

综上可得x²+px+q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p²=4q.