Question

已知函数f(x)=(其中m、n、α、β∈R且α≠0)的图象过点（0，-1），对称中心是（1，1）.

（1）试确定f(x)的解析式.

（2）如果数列{a_n}满足：a₁=3,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*),求{a_n}的通项公式.

（3）试探求形如f(x)的有理函数g(x)（异于f(x)），使得当数列{b_n}满足：b₁=3,b_n+1=g(b_n)时，总有b_2n-1=a_2n-1(n∈N^*)，并写出两个符合条件的函数.

Answer 1

解析：（1）∵f(x)的图象过点（0，-1），

∴f(0)=-1.

    即=-1.     (1)    又f(x)=+图象的对称中心是（1，1）,

∴由(1)、(2)、(3)  得

    且满足(4).∴f(x)=.

（2）∵a₁=3，∴a₂=f(a₁)=2，

    且a_n+2=f(a_n+1)===a_n……

a_n=

（3）∵a₁=3且a_2n-1=3，

    又b₁=3，要使b_2n-1=a_2n-1=3,则只要b_n+2=b_n即可.

    令g(x)=(其中：c、d、e、f∈R，e≠0)，

∵b_n+2=,

    令b_n+2=b_n则

    即

∴只要f=-c即可.

    如以下函数即符合条件：g₁(x)=，g₂(x)=.