Question

（本小题满分14分）

已知数列的首项为，对任意的，定义.

（Ⅰ） 若，求；

（Ⅱ） 若，且.

（ⅰ）当时，求数列的前项和；

（ⅱ）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

Answer 1

（本小题满分14分）

(Ⅰ) 解：,,

.                                 ………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）解：因为（），

所以，对任意的有，

即数列各项的值重复出现，周期为.                     ………………5分

又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7.

设数列的前项和为，则，

当时，

，      

当时，

    ，                     ………………7分

所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ………………8分

（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的有，

又数列的前6项分别为，且这六个数的和为.

设，（其中为常数且），

所以

. 

所以，数列均为以为公差的等差数列.          ………………10分

因为时，，时，，  ………………12分

所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.

所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.               ………………14分