Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a∈R．
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），当a=1时判断导数f′（x）的符号即可；
（2）由g（x）在其定义域内为增函数，知对?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可．

解答：解：（1）由f(x)=lnx-

a

x

，得f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=

x+a

x2

，
当 a=1时，f′(x)=

x+1

x2

＞0(x＞0)，
f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由已知得，g(x)=ax-

a

x

-5lnx，其定义域为（0，+∞），
g′(x)=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

．
因为g（x）在其定义域内为增函数，
所以?x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2-5x+a≥0，则a≥

5x

x2+1

．
而

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

≤

5

2

，当且仅当x=1时，等号成立，
所以a≥

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题，导数的符号决定函数的增减．