Question

设f（x）在[0，+∞）上连续，且

∫

x 0

f(t)dt=x(1+cosx)，则f(

π

2

)=

 

．

Answer 1

分析：根据题意，先设出被积函数的原函数，再直接计算在区间（0，x）上的定积分即可求得被积函数的原函数，再求导即得f（x）=1+cosx-xsinx，从而求得f（

π

2

）．

解答：解：设f（x）的原函数是F（x），
则由∫_x⁰f（t）dt=x（1+cosx）得：
F（x）-F（0）=x（1+cosx），
∴F′（x）-F′（0）=1+cosx-xsinx，
即f（x）=1+cosx-xsinx，
∴f（

π

2

）=1+cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=1-

π

2

，
故答案为：1-

π

2

．

点评：本题考查定积分的简单应用，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．