Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点；已知f（x）=x²+bx+c．
（1）若f（x）有两个不动点为-3，2，求函数y=f（x）的零点？
（2）已知当c=

9

4

时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围？

Answer 1

分析：（1）-3，2为x²+（b-1）x+c=0的两根，解方程可求得b、c的值，从而可求得函数y=f（x）的零点；
（2）当c=

9

4

时，函数f（x）没有不动点，就是方程x²+（b-1）x+

9

4

=0无实数根，由△＜0即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）有两个不动点为-3，2，
∴-3，2是方程x²+bx+c=x的两根，
整理得：x²+（b-1）x+c=0，
∴-3+2=1-b，-3×2=c，
∴b=2，c=-6．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+2x-6
由f（x）=0得其零点为x_1，2=

-2± 4-4×1×(-6)

2

=-1±

7

．
（2）∵c=

9

4

时，函数f（x）没有不动点，
∴x²+（b-1）x+

9

4

=0无实数根，
∴△=（b-1）²-9＜0，解得-2＜b＜4．
∴实数b的取值范围为：-2＜b＜4．

点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数的零点．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．