Question

【题目】有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.

（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.

（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.

（3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.

Answer 1

【答案】（1）第一个数列具有性质，第二个数列不具有性质；理由见解析；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质；

（2）等比数列具有性质等价于对任意的恒成立，就分类讨论后可得的取值范围.

（3）设，先考虑均不存在具有性质的数列，再分别考虑时具有性质的数列，从而得到所求的数列.

（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质

对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.

（2）由题意可得，

两边平方得：

整理得：

当时，得， 此时关于恒成立，

所以等价于时，所以，

所以或者，所以取.

当时，得， 此时关于恒成立，

所以等价于时，所以，

所以，所以取.

当时，得.

当为奇数的时候，得， 很明显成立，

当为偶数的时候，得， 很明显不成立，

故当时，矛盾，舍去.

当时，得.

当为奇数的时候，得， 很明显成立，

当为偶数的时候，要使恒成立，

所以等价于时，所以，

所以或者，所以取.

综上可得，.

（3）设，，

因为， 故，

所以可以取或者，

若，，则，

故或（舍，因为），

所以（舍，因为）.

若，，则，

故（舍，因为），或

所以（舍，因为）.

所以均不能同时使，都具有性质.

当时，即有，

故，故，

故有数列：满足题意.

当时，则且，故，

故有数列：满足题意.

当时，，

故，故，

故有数列：满足题意.

当时，则且，

故，

故有数列：满足题意.

故满足题意的数列只有上面四种.