Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=

-x-4  ，  x＜- 1 2 3x-2   ，  - 1 2 ≤x≤3 x+4 ， x＞3

，不等式f（x）≥4 等价于：

x＜- 1 2 -x-4≥4

，或

- 1 2 ≤x≤3 3x-2≥4

，或

x＞3  x+4≥4

．求出各个不等式组的解集，再取并集
即得所求．
（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数 y=f（x） 的最小值在 x=-

1

2

处取得，由此求得函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4  ，  x＜- 1 2 3x-2   ，  - 1 2 ≤x≤3 x+4 ， x＞3

，…（3分）
不等式f（x）≥4 等价于：
 

x＜- 1 2 -x-4≥4

，或 

- 1 2 ≤x≤3 3x-2≥4

，或  

x＞3  x+4≥4

．
解得：x≤-8，或 x≥2，
故不等式的解集为 {x|x≤-8 或 x≥2 }．…（6分）
（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数 y=f（x） 的最小值在 x=-

1

2

 处取得，
此时 f_min（x）=-

7

2

．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．