Question

已知函数f(x)=(1+

1

tanx

)•sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）若tanα=2，求f（α）的值
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）若x∈[

π

12

，

π

2

)，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第一项利用同角三角函数间的基本关系变形，第二项利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简得到结果，整理后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α和cos2α的值，代入计算即可求出f（α）的值；
（2）由（1）得出的解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间即可确定出f（x）的递增区间；
（3）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可确定出f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=（1+

cosx

sinx

）•sin²x-2cos（x-

π

4

）sin（x-

π

4

）=sin²x+

1

2

sin2x-sin（2x-

π

2

）=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

，
∵tanα=2，
∴sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，cos2α=

cos2α-sin2α

sin2α+cos2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

，
则f（α）=

1

2

sin2α+

1

2

cos2α+

1

2

=

3

5

；
（2）由（1）得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3

8

π+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∵x≠kπ，
∴f（x）的增区间为[-

3

8

π+kπ，kπ）∪（kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z；
（3）由x∈[

π

12

，

π

2

]，得2x∈[

π

6

，π]，即2x+

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

），
∴sin（2x+

π

4

）∈（-

2

2

，1]，
则f（x）∈（0，

2 +1

2

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键．