Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF₁·PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意易知
所以，
设P（x，y），则
=
因为x∈[﹣2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值﹣2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1
（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，消去y，
整理得：
∴
由得：或
又
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=
∵，
即k²＜4∴﹣2＜k＜2
故由①、②得：
或．