Question

【题目】已知函数 ,
（Ⅰ）证明： 为奇函数；
（Ⅱ）判断 单调性并证明；
（III）不等式 对于 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）由 ，可证得函数为奇函数；（2）该函数为反比例型函数，利用单调性定义可证得函数在 上为增函数。（3）利用函数的奇偶性和单调性，不等式可转化为 恒成立，可求得 的取值范围。

（Ⅰ） ， 为奇函数．

（II） 在R上为增函数．

,

在R内任取 ，

则 ，

，

．

在R上为增函数．

（III） ,

又 在R上为增函数,

恒成立， ，

即 时， ，

，解得 ．

【解析】【分析(1)根据函数的奇偶性可知 f ( x ) = f ( x ) ，得出函数为奇函数。(2)根据函数的单调性的定义即可得证。(3)结合函数的奇偶性和单调性可得 x t ≥ t2 x 2 恒成立， x ∈ [ 1 , 2 ] ，整理上式借助二次函数在指定区间上的最值得到 ( x2 + x ) nim ≥ t 2 + t 即为t2 + t ≤ 2 解出即可。