Question

已知函数f(x)=

ax2+4

x

，且f（1）=5．
（I）求a的值；
（Ⅱ）证明f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）可得f（1）=

a+4

1

=5，解之可得；
（Ⅱ）可得f(x)=

x2+4

x

，x≠0，由函数的奇偶性可得；
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＜0，可得单调性．

解答：解：（I）由题意可得f（1）=

a+4

1

=5，
解之可得a=1；
（Ⅱ）可得f(x)=

x2+4

x

，x≠0
故f(-x)=

(-x)2+4

-x

=

x2+4

-x

=-f（x）
故函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）可得f(x)=

x2+4

x

=x+

4

x

，
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-（x2+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+

4

x1

-

4

x2

=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在[2，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．