Question

已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;

(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

Answer 1

解:(1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,真命题.

用反证法证明:假设a+b＜0,则a＜-b,b＜-a.

∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)＜f(-b),f(b)＜f(-a),

∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b).这与已知相矛盾,

∴逆命题为真.

(2)逆否命题:若f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b),则a+b＜0,真命题.

∵一个命题它的逆否命题,∴可证明原命题为真命题.

∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

∴逆否命题为真.

点评:互为逆否命题的两个命题,在证明一个的真假性时,可证明它的等价命题的真假性.