Question

（2011•潍坊二模）已知数列{a_n}是各项均为为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足S_2n-1=

1

2

a

2 n

，n∈N*．数列{b_n}满足b_n=

2n-1，n为奇数 1 2 an-1，n为偶数

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）试比较T_2n与2n²+

n

3

的大小．

Answer 1

分析：（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，解关于a₁与d的方程组，可求得a₁=2，d=4，从而可求a_n，继而可求b_n；
（Ⅱ）通过分组求和的方法可求得T_2n，然后将T_2n与2n²+

n

3

作差，T_2n-（2n²+

n

3

）=

1

3

（4ⁿ-4n-1），验证n=1，2，3，时的符号，从而作出猜想，再用数学归纳法证明即可．

解答：解：（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
在S_2n-1=

1

2

an2中，令n=1，2，得

a12=2S1 a22=2S3

即

a12=2a1 (a1+d)2=2(3a1+3d)

…2分
解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），
∴a_n=4n-2…4分
∴b_n=

2n-1，n为奇数 2n-3，n为偶数

…5分
（Ⅱ）T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=

1-4n

1-4

+4•

n(n+1)

2

-3n
=

4n

3

-

1

3

+2n²-n…8分
∴T_2n-（2n²+

n

3

）=

1

3

（4ⁿ-4n-1），
当n=1时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=-

1

3

＜0；
当n=2时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

7

3

＞0；
当n=3时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

51

3

＞0；
…
猜想当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

，即n≥2时，4ⁿ＞4n+1．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，4²=16，4×2+1=9，16＞9，成立；
②假设当n=k（k≥2）时成立，即4^k＞4k+1．
则当n=k+1时，4^k+1=4•4^k＞4（4k+1）=16k+4＞4k+5=4（k+1）+1，
∴n=k+1时成立．
由①②得，当n≥2时，4ⁿ＞4n+1成立…11分
综上，当n=1时，T_2n＜2n²+

n

3

，
当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

…12分

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法的应用，考查化归思想、分类讨论思想、方程思想的综合应用，属于难题．