Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.

Answer 1

解：（I）证明：由已知DF∥AB且∠DAB为直角．故ABFD是矩形．
从而CD⊥BF．又PB⊥底面ABCD，CD⊥AD，
故由三垂线定理知CD⊥PD．
在△PDC中， E、F分别为PC、CD的中点，故EF∥PD，
从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF．
（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，
则在△PAC中易知EG∥PA．
因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．
在底面ABCD中，过G作GH⊥BD．垂足为H，连接EH，
由三垂线定理知EH⊥BD．从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角．
设AB=α则在△PAC中，有EG= PA= kα
以下计算GH，考虑底面的平面图，连接GD，
因S_△CBD= BD·GH= GB·DF 故GH= ．
在△ABD中，因AB=a．AD=2a．得BD=a．
而GB= FB= AD=a，DF=AB，
从而得GH= = =．
因此，．
由k＞0知∠EHG是锐角．
故要使∠EHG＞30°，必须 ＞tan30°=，
取值范围为k＞

解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，
设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),    ·=0,
故
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.
故E从而=·=0故⊥
  由此得CD⊥面BEF
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,
由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，
即2x+y=2a      ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.

由k＞0知，∠EHC是锐角，
由∠EHC＞得tanEHG＞tan
即＞故k的取值范围为k＞.