Question

（2009•武汉模拟）函数f（x）=ln（

x2+x+1

-

x2-x+1

）的值域为（　　）

A．（-∞，0）

B．（-1，0）

C．（0，1）

D．（0，+∞）

Answer 1

分析：先求得函数f（x）的定义域，对t=

x2+x+1

-

x2-x+1

进行变形，根据两点间距离公式可知该式表示动点P（x，0）（x＞0）到定点A（-

1

2

，

3

2

）与定点B（

1

2

，

3

2

）的距离之差，结合图象可求得其范围，进而利用对数函数y=lnt的单调性可求得f（x）的值域．

解答：解：由

x2+x+1

-

x2-x+1

＞0，得x＞0，
所以f（x）的定义域为（0，+∞），
t=

x2+x+1

-

x2-x+1

=

(x+ 1 2 )2+ 3 4

-

(x- 1 2 )2+ 3 4

，可看作动点P（x，0）（x＞0）到定点A（-

1

2

，

3

2

）与定点B（

1

2

，

3

2

）的距离之差，
易知（|PA|-|PB|）∈（0，1），
而y=lnt在（0，1）上递增，所以y∈（-∞，0），即f（x）的值域为（-∞，0），
故选A．

点评：本题考查复合函数的单调性、两点间距离公式，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．