题目内容

设 $数学公式$
（Ⅰ）证明f（x）在（-1，1）上是减函数；
（Ⅱ）若f（x）的反函数为f^-1（x），试证明方程f^-1（x）=0只有唯一解；
（Ⅲ）解关于x的不等式： $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．

证明：（I）f（x）在（-1，1）上递减
函数的定义域为 $\text{[math]}$ 解得x∈（-1，1）
∵ $\text{[math]}$ ＜0
∴f（x）在（-1，1）上递减
（II）∵f（x）与f^-1（x）的单调性相同
∴f^-1（x）在定义域上递减
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f^-1（x）=0有解，且唯一
（III）原不等式同解于 $\text{[math]}$
∵f（x）在（-1，1）上递减
∴ $\text{[math]}$ 解得
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴解集为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）令分母不为0且真数大于0求出函数的定义域；利用导数的运算法则求出导函数，判断出导函数的符号，得证．
（II）根据互为反函数的单调性相同，得到f^-1（x）递减；求出f（0）的值，得到反函数有根，据单调证得根唯一．
（III）将 $\text{[math]}$ 用f（0）代替，利用f（x）的单调性去掉法则f，注意定义域；解二次不等式组求出解集．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．解抽象不等式应先将不等式化为f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．属于基础题．

练习册系列答案

南师基教中考类题系列答案

时政热点精析系列答案

3年中考真题考点分类集训卷系列答案

中考必备辽宁师范大学出版社系列答案

新疆中考押题模拟试卷系列答案

中考必做真题课时练系列答案

中考快递真题分类详解系列答案

中考命题规律与必考压轴题系列答案

中考模式试卷汇编系列答案

中考调研中考考点满分特训方案系列答案

相关题目

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
（1）证明f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）如果f（x-c），f（x-c²）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
（3）证明：若-1≤c≤2，则f（x-c），f（x-c²）存在公共的定义域，并求出这个公共的定义域．

已知函数f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（II）设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₃是f（x）的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．
证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后的等差数列，并求x₄．

（2007•闸北区一模）已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域）等式f(kx)=

+f(x)恒成立．
（1）一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合A？请说明理由．
（2）设函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象与直线y=

x有公共点，试证明f（x）=log_ax∈A．

（2007•汕头二模）定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x，y∈N^*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．