Question

14．有一块直角三角形木板，如图所示，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．

Answer 1

分析 由题意，设出正方形边长为a，根据勾股定理建立关系，利用相似三角形的性质求解边长的关系，即可求解最大值即可．

解答 解：如图（1）所示，设正方形DEFG的边长为x cm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于N，
因为S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，
所以AC•BC=AB•CM，即3×4=5•CM．所以CM=$\frac{12}{5}$．
因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB．
所以$\frac{CN}{CM}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$
所以x=$\frac{60}{37}$
如图（2）所示，设正方形CDEF的边长为y cm，因为EF∥AC，所以△BEF∽△BAC．
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{EF}{AC}$，$\frac{3-x}{3}=\frac{y}{4}$．
∴y=$\frac{12}{7}$．
∵x=$\frac{60}{37}$，y=$\frac{12}{7}$，
∴x＜y．
所以当按图（2）的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为$\frac{12}{7}$cm．

点评 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能根据题意画出图形，作出辅助线，再根据相似三角形的判定定理及性质进行解答．