Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且f（2+x）=-f（2-x），f(x+2)=-

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f(x)

．给出下列命题：
①f（0）=0；            
②函数f（x）是周期函数，并且周期为4；
③函数f（x）是奇函数；   
④函数f（x）的图象关于y轴对称；
⑤函数f（x）的图象关于点（2，0）成中心对称．
其中所有正确命题的序号为

①②③⑤

．（填写所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：给出定义在R上的函数f（x），首先根据f(x+2)=-

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f(x)

，思考两次运用该等式，能把式中的“-”去掉，求出函数周期为4；然后结合等式f（2+x）=-f（2-x），取变量x=x+2，可以推出函数f（x）为奇函数；函数是奇函数，若图象关于y轴对称，同时又是偶函数，则有f（x）=0恒成立，这与已知等式不符；设出f（x）图象上一点（x₀，y₀），说明该点关于（2，0）的对称点也在函数图象上，从而说明函数f（x）的图象关于点（2，0）成中心对称．

解答：解：在f(x+2)=-

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f(x)

中，取x=x+2，则f[（x+2）+2]=-

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f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，故命题②正确．
在f（2+x）=-f（2-x）中，取x=x+2，则有f（2+2+x）=-f[2-（2+x）]=-f（-x），即f（4+x）=-f（-x），因为函数的周期为4，所以
f（x）=-f（-x），所以，函数f（x）为奇函数，故命题③正确．
因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，故命题①①正确．
若函数图象关于y轴对称，则函数又为偶函数，所以函数解析式应为f（x）=0，由已知条件f(x+2)=-

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f(x)

知f（x）不恒为0，出现矛盾，所以命题④不正确．
设（x₀，y₀）是函数y=f（x）的图象上的点，则y₀=f（x₀）=-f（-x₀）=-f（4-x₀），即-y₀=f（4-x₀），
所以点（4-x₀，y₀）也在函数y=f（x）的图象上，而（4-x₀，y₀）是（x₀，y₀）关于（2，0）的对称点，所以命题⑤正确．
故答案为①②③⑤．

点评：本题是考查抽象函数的性质，处理这类问题的关键是根据题目给出的条件，有效的给变量x赋予不同的取值，从而达到转化为要解决的问题的目的．