Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1，且对称轴是x=-1，g(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

求g（2）+g（-2）的值；
（2）在（1）条件下，求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值f（x）_min．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，f（0）=1，且对称轴是x=-1，根据二次函数的对称轴公式及函数值得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解集即可得到a，b及c的值，从而确定出f（x）的解析式，进而得到g（x）的解析式，由2大于0代入g（x）=f（x）中求出g（2）的值，由-2小于0，把x=-2代入g（x）=-f（x）中求出g（-2）的值，即可求出所求式子的值；
（2）根据顶点横坐标1小于t，1在区间[t，t+2]，以及1大于t+2，分三种情况根据二次函数的单调性，利用求最值的方法分别求出两种情况下f（x）的最小值，联立得到f（x）的最小值关于t的分段函数解析式．

解答：解：（1）∵

f(-1)=0 f(0)=1 x=- b 2a =-1

，即

a-b+c=0 c=1 b=2a

，
解得：

a=1 c=1 b=2

，
∴f（x）=（x+1）²，（3分）
∴g(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

，
∴g（2）+g（-2）=8；（6分）
（2）当t+2≤-1时，即t≤-3时f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递减．
f（x）_min=f（t+2）=（t+3）²（8分）
当t＜-1＜t+2时，即-3＜t＜-1时f（x）=（x+1）²在区间[t，-1]上单调递减，
f（x）=（x+1）²在区间[-1，t+2]上单调递增，
f（x）_min=f（-1）=0（10分）
当t≥-1时，f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递增，
f（x）_min=f（t）=（t+1）²（12分）
综上所述：f(x)min=

(t+3)2 0 (t+1)2

，

(t≤-3) (-3＜t＜-1) (t≥-1)

．（14分）

点评：此题考查了二次函数的性质，以及二次函数在闭区间上的最值．要求学生利用待定系数法求f（x）的解析式，采用分类讨论的数学思想分情况考虑f（x）的最小值．学生在求f（x）最小值时，注意考虑在闭区间上顶点是否取到．