Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以  为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，

       由已知得：，

      

       椭圆的标准方程为．

       （2）设．

       联立

       得    ，则

      

       又．

       因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

       ，即．

       ．

       ．

       ．

       解得：，且均满足．

       当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

       当时，的方程为，直线过定点．

       所以，直线过定点，定点坐标为