Question

如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点.

（1）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；

（2）求点D到平面PAB的距离.

Answer 1

解：取DC的中点M，AB中点N，连结PM，MN，由△PDC为正三角形和PM⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD.且面PDC∩平面ABCD=CD，∴PM⊥平面ABCD，由四边形ABCD为正方形知MN⊥CD.因此以M点为原点，MN，MC，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.

则M（0，0，0），C（0，,0），D（0，-,0）,P(0,0,a),A(a,-,0),B(a,,0),

（1）由E为PC中点知E（0，,a）.

∴=(a,-,-a),=(0,,a).

∴·=-a²,||=a,||=a,

∴cos(,)=,

因此异面直线PA与DE的夹角的余弦值为.

（2）设n为平面PAB的法向量，并设n=（x,y,z），则

即

∴n=(,0,1).

又∵=(a,0,0),

∴d=||=a,

即点D到平面PAB的距离为a.