Question

已知函数f（x）=sin²x-cos²x+3sinx-1；
（1）求f（x）的值域；
（2）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）将三角函数整理，得到2(sinx+

3

4

)2-

25

8

，再由正弦函数的值域得到函数f（x）的值域；
（2）将不等式整理得到（2sinx-1）•（sinx+2）≥0，由于sinx+2＞0，
故原不等式的解集即是2sinx-1≥0的解集，解出即可．

解答：解（1）f（x）=sin²x-cos²x+3sinx-1=sin²x-（1-sin²x）+3sinx-1…（1分）
=2sin²x+3sinx-2=2(sinx+

3

4

)2-

25

8

…（2分）
∵sinx∈[-1，1]，当sinx=1时，y_max=2+3-2=3…（3分）
当sinx=

3

4

时，ymin=-

25

8

…（4分）
所以函数f（x）的值域为[-

25

8

，3]…（6分）
（2）由于f（x）≥0，即2sin²x+3sinx-2≥0
则（2sinx-1）•（sinx+2）≥0…（7分）
∵sinx∈[-1，1]，∴sinx+2＞0，…（8分）
∴2sinx-1≥0即sinx≥

1

2

…（9分）
∴2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，…（11分）
∴x的取值范围是[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)…（12分）

点评：本题考查函数三角的性质，三角函数的化简，考查计算能力，是中档题．