题目内容
已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明{bn}是等差数列．
分析：（Ⅰ）利用等比数列的定义，构造
=q≠0进行证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an；
（Ⅲ）由已知可得2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，利用递推公式可得2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1结合两式可证．
| an+2-an+1 |
| an+1-an |
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an；
（Ⅲ）由已知可得2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，利用递推公式可得2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1结合两式可证．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2（an+1-an），
∵a1=1，a2=3，
∴
=2(n∈N*)．
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+1-an=2n（n∈N*），
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2++2+1
=2n-1（n∈N*）．
（Ⅲ）证明：∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn，
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
即（n-1）bn+1-nbn+2=0．③
nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差数列．
∴an+2-an+1=2（an+1-an），
∵a1=1，a2=3，
∴
| an+2-an+1 |
| an+1-an |
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+1-an=2n（n∈N*），
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2++2+1
=2n-1（n∈N*）．
（Ⅲ）证明：∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn，
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
即（n-1）bn+1-nbn+2=0．③
nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差数列．
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．
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