Question

设函数f（x）=ln（x+1）
（1）若x＞0证明：f(x)＞

2x

x+2

．
（2）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3对于x∈[-1，1]及b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把不等式一边的式子移项，构造新函数，对新函数求导，根据导函数与0的关系，得到函数是一个增函数，而函数的最小值大于0的函数值，得到结论．
（2）整理函数，把含有变量x的式子整理到不等号的一侧，把含有x的代数式写成新函数，最新函数求导进而求出最大值，使得不等式的另一侧的代数式大于最大值，得到关于m的一元二次不等式，得到结果．

解答：解：（1）令g(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
则g′(x)=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

2x

x+2

．
（2）原不等式等价于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3．
令h(x)=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，则h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴当x∈[-1，1]时，h（x）_max=0，∴m²-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m²-3，则

Q(1)=m2-2m-3≥0 Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．

点评：本题考查函数的导数和函数思想的应用，本题解题的关键是构造新函数，对于新函数进行求导求最值，再利用函数的思想来解题，这种题目可以出现在高考卷中．