Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO为四棱锥P-ABCD的高，且PO=

3

，E、F分别是BC、AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥F-PCD的体积．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点G，连接FG，CG，由三角形中位线定理及平行四边形性质，可得EF∥CG，进而由线面平行的判定定理得到答案；
（2）取OA中点N，连接FN，由条件证明出FN⊥底面ABCD，再根据条件求出FN、DO、AC，再利用分割法得出V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD，利用条件中的线面垂直对三棱锥进行换底，代入体积公式求解即可．

解答：（1）证明：取PD的中点G，连接FG，CG，
∵FG为△PAD的中位线，
∴FG∥AD且，FG=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
又∵E为BC的中点，∴CE∥AD，且CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四边形EFCG为平行四边形，∴EF∥CG，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）解：取OA中点N，连接FN
∵F为PA的中点，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，∴FN⊥底面ABCD，
在△PAO中，FN=

1

2

PO=

3

2

，
∵底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，且DO=1，AC=2

3

，
由几何体得，V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD
=V_P-ACD-V_F-ACD
=

1

3

•S△ACD•PO-

1

3

•S△ACD•FN
=

1

3

•S△ACD(PO-FN)=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×

3

2

=

1

2

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，几何体的体积求法，其中（1）的关键是要在平面内找到一条可能与EF平行的直线；（2）考查了几何体的体积求法-分割法、换底法灵活应用，关键是利用垂直关系找几何体的高，以及几何体之间的关系，难度较大，属中档题．