Question

设{a_n}和{b_n}都是公差不为零的等差数列，且

lim

n→∞

an

bn

=2，则

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

的值为

1

8

．

Answer 1

分析：设{a_n}和{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，有条件可得d₁=2d₂，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简要求的式子
并把d₁=2d₂代入，再利用数列极限的运算法则求出结果．

解答：解：设{a_n}和{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，
∵

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

=2，∴d₁=2d₂．

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

=

lim

n→∞

nb1+ n(n-1) 2 d2

n[a1+(2n-1)d1 ]

=

d2 2

2×d1

=

d2

4d1

=

1

8

，
故答案为：

1

8

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式，求数列的极限的方法，得到d₁=2d₂，是解题的关键．