题目内容
【题目】设函数
.
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）若对任意
，恒有
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）若
，则
，根据
和
得到分段函数，进而可得
的值域；
（2）对任意
，恒有
，即
恒成立，
，
则
对任意，恒成立，构造函数
和函数
讨论即可.
（1）当时，，即
当时，
，
此时
，
当时，
，
此时
，
综上：的值域为.
（2）对任意，恒有，即恒成立，所以，
所以对任意，恒成立，
设，对任意，恒有
，
因
为开口向上，其对称轴为
的二次函数，则在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
故对任意，恒有时
的取值范围为
设，对任意，恒有
，因
为开口向上，其对称轴为
的二次函数，
当
，即
时，在区间上单调递增，
所以
，解得
，所以，
当
，即
时，在区间上单调递减，
所以
，解得
，所以，
当
，即
时，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以 
，解得或
（舍）
所以，故对任意，，时的取值范围为
综上对任意，恒有时，的取值范围为.
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