Question

已知函数f(x)=

x

ax+b

(a≠0)满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*．求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）定义min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

．对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，令bn=min{an，

1

n

}．设S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＞ln（n+1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知2a+b=2．当△=（b-1）²=0时，b=1，a=

1

2

，f(x)=

2x

x+2

；当△=（b-1）²≠0时，a=1，f（x）=1（x≠0）．
（Ⅱ）由题意知当f（x）=1时，a_n+1=1，不合题意，所以f(x)=

2x

x+2

，an+1=

2an

an+2

，∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，由此可得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由题设条件知，an-

1

n

=

2

n+1

-

1

n

=

n-1

n(n+1)

≥0，n∈N*，所以an≥

1

n

，bn=min{an，

1

n

}=

1

n

，再用分析法证明S_n＞ln（n+1）．

解答：解：（Ⅰ）由f(2)=

2

2a+b

=1，得2a+b=2；
又

x

ax+b

=x，有且仅有一个解，
即ax²+（b-1）x=0，有唯一解满足ax+b≠0．
∵a≠0，∴当△=（b-1）²=0时，b=1，x=0，则a=

1

2

，此时f(x)=

2x

x+2

，
又当△=（b-1）²≠0时，x1=-

b-1

a

≠0，x2=0，因为ax₁+b=1≠0，
所以ax₂+b=b=0，则a=1，此时f(x)=

x

x

=1(x≠0)
综上所述，f(x)=

2x

x+2

，或者f（x）=1（x≠0）；

（Ⅱ）a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*，当f（x）=1时，a_n+1=1，不合题意，
则f(x)=

2x

x+2

，an+1=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
则

1

an

=1+

1

2

(n-1)，an=

2

n+1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an-

1

n

=

2

n+1

-

1

n

=

n-1

n(n+1)

≥0，n∈N*
∴an≥

1

n

，则bn=min{an，

1

n

}=

1

n

，所以Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

设数列{c_n}的前n项和为T_n=ln（n+1），则c₁=T₁=ln2＜lne=1
当n≥2时，cn=Tn-Tn-1=ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

=ln(1+

1

n

)，要证明ln(1+

1

n

)＜

1

n

，n∈N*
令1+

1

n

=t＞1，只要证明：lnt＜t-1，其中t＞1．
令g（x）=x-1-lnx（x≥1），则g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，
则当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即x-1＞lnx（x＞1），所以

1

n

＞cn=ln(1+

1

n

)，n∈N*，
则Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞c1+c2+…+cn=Tn=ln(n+1)．

点评：也可用数学归纳法证明，为此，先证明

1

n+1

＞ln(1+

1

n+1

)，即证：lnt＜t-1，其中t＞1．