Question

【题目】已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10. 设．

⑴ 求函数的解析式；

⑵ 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

⑶ 是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实 数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】【试题分析】（1）利用，化简后可求得.此时函数对称轴为轴，故当时取得最大值，由此求得.进而求得.（2）将原不等式分离参数得到在上恒成立，利用换元法结合二次函数最值可求得.（3）先将原方程化为.利用换元法令，将上式变为二次函数零点问题来求解.

【试题解析】

（1）∵为上的偶函数， ，

， 关于恒成立，

， 在区间上的最大值为10，

当时， 解得： ，

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

上式可化为在上恒成立，

令，∵，∴，则在上恒成立，

又∵当时， ，∴，即所求实数的取值范围为

（3）方程，即，

可化为： ，

令，则，

若关于的方程有四个不相等的实数根，

则关于的方程必须有两个不相等的实数根和，

并且，记 ，

则，

解得： ，所以，存在实数使得关于的方程

有四个不相等的实数根， 取值范围为