Question

棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是异面直线AC与AD₁的公垂线，
求证：EF∥BD₁．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，设出点的坐标，得出向量坐标，证明

BD1

∥

EF

，可得结论．

解答：证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
设正方体的棱长为a，则A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），
∴

DA

1=（a，0，a），

AC

=（-a，a，0），

BD

1=（-a，-a，a）．
∵EF是直线AC与A₁D的公垂线．
∴

EF

⊥

DA

1，

EF

⊥

AC

．
设

EF

=（x，y，z），
∴

EF

•

DA

1=（x，y，z）•（a，0，a）=ax+az=0，
∴

EF

•

AC

=（x，y，z）•（-a，a，0）=-ax+ay=0．
∵a≠0，∴x=y=-z．
∴

EF

=（x，x，-x），∴

BD

1=-

a

x

EF

，
∴

BD1

∥

EF

，
∴EF∥BD₁．

点评：本题考查线线平行，考查向量知识的运用，正确确定向量坐标是关键．