Question

如下图，已知曲线C₁：y=x³(x≥0)与曲线C₂：y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D.

（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);

（2）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.

Answer 1

解析：(1)解方程组得交点O、A的坐标分别为(0,0),(1,1).

f(t)=S_△ABD+S_△OBD

=|BD|·|1-0|=|BD|

=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0＜t＜1＝.

(2)f′(t)=-t²+.

令f′(t)=-t²+=0，

得t=,t=-（舍去）.

当0＜t＜时，f′(t)＞0,从而f(t)在区间（0，）上是增函数；

当＜t＜1时，f′(t)＜0，从而f(t)在区间（，1）上是减函数.

所以当t=时，f(t)有最大值f()=.