Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

2

cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 sin（2x-），由此求得函数的最小正周期．
利用正弦函数的对称轴方程，解得x的值，即可求得f（x）函数图象的对称轴方程．
（2）求出函数的单调增区间，通过x的范围，求得f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

2

cos2x=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

）． …（3分）
 f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（5分）
令 2x-

π

3

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．
∴f（x）函数图象的对称轴方程是x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．…（9分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以，f（x）的单调增区间为[-

π

12

，

5π

12

]．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求三角函数的对称轴、单调区间，属于中档题．