Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₁=1，3S_n=（n+2）a_n．
（1）求a₂，a₃的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式； 
（3）求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的和．

Answer 1

分析：（1）利用递推式分别令n=2，3即可得出；
（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）a_n，3S_n-1=（n+1）a_n-1，两式相减得

an

an-1

=

n+1

n-1

．再利用“累乘求积”an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）当n=2时，3S₂=4a₂，∴3（a₁+a₂）=4a₂，化为a₂=3a₁=3．
当n=3时，得3S₃=5a₃，∴3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，代入得3（1+3+a₃）=5a₃，解得a₃=6．
（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）a_n，3S_n-1=（n+1）a_n-1，两式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
化为

an

an-1

=

n+1

n-1

．
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1=

n+1

n-1

•

n

n-2

•

n-1

n-3

•…•

4

2

•

3

1

•1=

n(n+1)

2

．
（3）由（2）可得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

2n

n+1

．

点评：正确理解递推式的意义，熟练掌握“累乘求积”、“裂项求和”方法等是解题的关键．