Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+b²，当x=-1时，有极值8，则a+b=

-

9

4

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x³+ax²+bx+b²在x=-1时，有极值8，可知f′（-1）=0和f（-1）=8，对函数f（x）求导，解方程组

f′(-1)=0 f(-1)=8

，注意验证，可求得答案．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx+b²，
得f′（x）=3x²+2ax+b，

f′(-1)=0 f(-1)=8

，即

-2a+b+3=0 b2+a-b-1=8

，
解得

a= 1 4 b=- 5 2

或

a=3 b=3

，
当

a=3 b=3

时，f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²，
当x＜-1时，f′（x）＞0；当x＞-1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）在-1的两边都是增函数，
此时，函数在x=-1时没有极值，应舍去．
当

a= 1 4 b=- 5 2

时，f′（x）=3x²+

1

2

x-

5

2

=

1

2

（x+1）（6x-5）
当x＜-1时，f′（x）＞0；当

5

6

＞x＞-1时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在-1的两边导数值异号，
此时，函数在x=-1时有极值．
∴

a= 1 4 b=- 5 2

，
∴a+b=-

9

4

，
故答案为：-

9

4

．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属于基础题．