Question

设f(x)=+xlnx，g(x)=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g(x₁)- g(x₂)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）
所以，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-x+3；
（2）

由下表知，，

∴，
所以满足条件的最大整数M=4；
（3）
等价于：在区间上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，
由（2）知，在区间上，g(x)的最大值为，，
下证当a≥1时，在区间上，函数f(x)≥1恒成立，
当a≥1且时，，
记，，。
当时，；
当时，，
所以，函数在区间上递减，在区间上递增，，即h(x)≥1， 所以，当a≥1且时，f(x)≥1成立，
即对任意，都有f(s)≥g(t)。