Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₃=7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有

an-am

ap-aq

=

n-m

p-q

成立．则a₄=

10

，通项a_n=

3n-2

．

Answer 1

分析：根据a₁=1，a₃=7，

an-am

ap-aq

=

n-m

p-q

成立，可以求得a₂，a₄；数列{a_n}为等差数列，从而可求得a_n．

解答：解：∵a₁=1，a₃=7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有

an-am

ap-aq

=

n-m

p-q

成立，
∴

a3-a1

a2-a1

=

3-1

2-1

=2，
∴a₂=4，
∴

a4-a3

a3-a1

=

4-3

3-1

=

1

2

，即

a4- 7

6

=

1

2

，
∴a₄=10，
∴该数列为1，4，7，10…为首项是1，公差为3的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2
　　故答案为：10；3n-2．

点评：本题考查等差数列的通项公式，解决的方法是特值法，属于简单题．