Question

若数列{a_n}满足a_n+1=a_n+（

1

2

）ⁿ，a₁=1，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：本题的递推关系式类似于等差数列的递推式，可用累加法来处理，属于基础题，于是连续写出n个递推等式累加可得a_n．

解答：解：由已知可得，a_n+1-a_n=（

1

2

）ⁿ，所以有：a₂-a₁=（

1

2

）¹，a₃-a₂=（

1

2

）²，…，a_n-a_n-1=（

1

2

）^n-1（n≥2），
上述n-1个式子累加可得：a_n-a₁=（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1=

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n-1（n≥2），
所以得，a_n=a₁+1-(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1（n≥2），
因为当n=1时上式也成立，因此有a_n=2-(

1

2

)n-1（n∈N^*）
答：2-(

1

2

)n-1（n∈N^*）

点评：本题的递推关系式较易处理，需要注意一点即得到a_n=2-(

1

2

)n-1（n≥2）之后，需要验证n=1的情况，若适合上式可
得到a_n=2-(

1

2

)n-1（n∈N^*），否则若不适合需要用分段的形式来表示．