Question

已知圆O₁：x²+y²+10x+24=0，圆O₂：x²+y²-10x-24=0都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：分别把两圆的方程化为标准式方程后，找出两圆的圆心坐标与半径，设出动圆的圆心坐标和半径，根据两圆相切时圆心之间的距离等于半径相减得到M到两圆心的距离之差为定值，得到动圆圆心的轨迹方程为双曲线的一支．

解答：解：圆O₁：x²+y²+10y+24=0即为（x+5）²+y²=1，所以圆O₁的圆心为O₁（-5，0），半径r₁=1
圆O₂：x²+y²-10x-24=0即为（x-5）²+y²=49，所以圆O₂的圆心为O₂（5，0），半径r₂=7，
设所求动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r
则r=|O₁M|+1且r=|O₂M|+7，
所以|O₁M|-|O₂M|=6即

(x+5)2+y2

-

(x-5)2+y2

=6=2a，
则a=3，又c=5，所以b=4
所以

x2

9

-

y2

16

=1(x≥3).

点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准式方程并会找出圆心坐标和圆的半径，掌握两圆内切时所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式求动点的轨迹方程，是一道中档题．