Question

已知公差d为正数的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}．
（1）若a₁＞0，且对一切n∈N^*恒成立，求证：d≤a₁q-a₁；
（2）若d＞1，集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，求使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴，∵a_n＞0，
∴d≤a_n（q-1）对一切n∈N*恒成立．∴d≤a_n（q-1）的最小值，又d＞0，q＞1，
∴d≤a₁（q-1）．
（2）∵1，2，3，4，5这5个数中成等比且公比q＞1的三数只能为1，2，4
∴只能是b₃=1，b₄=2，b₅=4，a₃=1，a₄=3，a₅=5，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．
∵，∴，
∴，∴．∵p＞0，
∴n=1，2显然成立
当n≥3时，∴，∴

∴
∴使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3
分析：（1）由题设条件知，再由a_n＞0，知d≤a₁（q-1）．
（2）由题设条件知a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．再由，知，由此入手能够推导出使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．