Question

（2013•南京二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=4，CB=4，CC₁=2

2

，∠ACB=90°，点M在线段A₁B₁上．
（1）若A₁M=3MB₁，求异面直线AM与A₁C所成角的余弦值；
（2）若直线AM与平面ABC₁所成角为30°，试确定点M的位置．

Answer 1

分析：（1）以CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量

CA1

、

AM

的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A₁C所成角的余弦值为

39

39

；
（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出

n

=（1，1，

2

）是平面ABC₁的一个法向量，设A₁M=x，则

AM

=（x-4，4-x，2

2

），结合题意可得

AM

与

n

所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A₁B₁的中点时，满足直线AM与平面ABC₁所成角为30°．

解答：解：（1）分别以CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则C（0，0，0），A（4，0，0），A₁（4，0，2

2

），B₁（0，4，2

2

）
∵A₁M=3MB₁，∴M（1，3，2

2

），
可得

CA1

=（4，0，2

2

），

AM

=（-3，3，2

2

），
∴cos＜

CA1

，

AM

＞=

CA1 • AM

|CA1| • |AM|

=

-4

24 • 26

=-

39

39

由于异面直线所成角为直角或锐角，所以异面直线AM与A₁C所成角的余弦值为

39

39

；
（2）由（1）得B（0，4，0），B₁（0，0，2

2

）
∴

AB

=（-4，4，0），

AC1

=（-4，0，2

2

）
设

n

=（a，b，c）是平面ABC₁的一个法向量，可得

n • AB =-4a+4b=0 n • AC1 =-4a+2 2 c=0

，取a=1，得b=1，c=

2

∴

n

=（1，1，

2

），而直线AM与平面ABC₁所成角为30°，
可得

AM

与

n

所成角为60°或120°
∴|cos＜

AM

、

n

＞|=

1

2

，设A₁M=x，则

AM

=（x-4，4-x，2

2

）
即

AM • n

|AM| • |n|

=

1•(x-4)+1•(4-x)+ 2 •2 2

2 (x-4)2+(4-x)2+8

=

2

2(x-4)2+8

=

1

2

解之得x=2或6，由于M在A₁B₁上可得x＜6，故A₁M=x=2
即点M为线段A₁B₁的中点时，满足直线AM与平面ABC₁所成角为30°．

点评：本题建立空间坐标系，求异面直线所成角和直线与平面所成角．着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点，属于中档题．