题目内容

函数f（x）=x3+3x-4b在（0，1）内有零点．则（　　）
分析：利用导数判断函数f（x）=x3+3x-4b=0在（0，1）上的单调性，然后利用单调性进行求解．
解答：解：函数的导数f'（x）=3x2+3=3（x2+1）≥3，则函数f（x）=x3+3x-4b=0在（0，1）上的单调递增，
所以要使函数f（x）=x3+3x-4b在（0，1）内有零点．
则f（0）＜0且f（1）＞0，即
-4b＜0
1+3-4b＞0
，解得0＜b＜1．
故选C．
点评：本题主要考查函数零点的判断和应用，利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f（2）的取值范围；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．
（2007•东城区一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10
10
，若x=
2
3
时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．
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（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x1、x2、x3∈[0，1]，总存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．
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