Question

（本小题满分12分）. 若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。

(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；

 (2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。

(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

 

 

Answer 1

【答案】

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得

可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂=2c   ∴x₁+x₂=2m²—2c  x₁x₂= c²,

(1)    当m=－1,c=－2时，x₁x₂ +y₁y₂=0 所以OA⊥OB.

(2)    当OA⊥OB时，x₁x₂ +y₁y₂=0 于是c²+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).

(3)    由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]=  由(2)知c=－2 

∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。

 

【解析】略