Question

3．已知点A的坐标为（4$\sqrt{3}$，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$至OB，则点B的纵坐标为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{11}{2}$
• D． $\frac{13}{2}$

Answer 1

分析 根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：∵点 A的坐标为（4$\sqrt{3}$，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ=$\frac{1}{\sqrt{1+（4\sqrt{3}）^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{49}}$=$\frac{1}{7}$，cosθ=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{1+（4\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$至OB，
则OB的倾斜角为θ+$\frac{π}{3}$，则|OB|=|OA|=$\sqrt{1+（4\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{49}=7$，
则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+$\frac{π}{3}$）=7（sinθcos$\frac{π}{3}$+cosθsin$\frac{π}{3}$）=7（$\frac{1}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$）=$\frac{1}{2}$+6=$\frac{13}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．