Question

设k∈R，函数f（x）=（x²+2x+k）e^x的图象在x=0处的切线过点（1，4）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，代入x=0，得到f′（0）=k+2，f（0）=k，即可得到切线方程，又由切线过点（1，4），则有4-k=（k+2），即得k；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函数的导数，令导数小于0，得x的取值区间，即为f（x）的单调减区间；令导数大于0，得x的取值区间，即为f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=（x²+2x+k）e^x的导数为：f′（x）=e^x（x²+2x+k）+e^x（2x+2）=e^x（x²+4x+k+2），
则f′（0）=e⁰（0²+0+k+2）=k+2，f（0）=（0²+0+k）e⁰=k
则函数在x=0处的切线方程为 y-k=（k+2）x
又由在x=0处的切线过点（1，4），则4-k=（k+2），所以k=1
则函数f（x）的解析式f（x）=（x²+2x+1）e^x
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=e^x（x²+4x+3），
令f′（x）＜0得-3＜x＜-1；
令f′（x）＞0得x＜-3或x＞-1．
则函数f（x）的单调增区间为（-∞，-3），（-1，+∞）；函数f（x）的单调减区间为（-3，-1）．

点评：考查利用导数求函数的单调区间，令f′（x）＜0，得x的取值区间，即为f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，得x的取值区间，即为f（x）的单调增区间．是中档题．